Le livre offre un traitement élémentaire, original et complètement constructif de l'ouvrage de référence de D.G. Northcott, Finite Free Resolutions, très connu en Algèbre commutative. La notion basique de "profondeur" proposée par M. Hochster est utilisée comme chez Northcott, sans référence à l'algèbre homologique.

Résolutions libres finies : méthodes constructives

Les fondements pour enfants motivés

Fruit d'une collaboration de plus de dix ans entre deux spécialistes confirmés du domaine, ce grand traité d'algèbre commutative est sans équivalent dans la littérature mathématique. Les auteurs, Henri Lombardi et Claude Quitté, y adoptent résolument le point de vue constructif, aujourd'hui prégnant en mathématiques. Ils privilégient les résultats explicites, si bien que les théorèmes proposés ont tous un contenu algorithmique. Plusieurs théories classiques abstraites sont ainsi revisitées, avec un éclairage nouveau qui en facilite l'accès. C'est le cas par exemple de la théorie de Galois, des anneaux de Dedekind, des modules projectifs de type fini ou de la théorie de la dimension de Krull, qui dans leur cadre classique laissent rarement entrevoir un contenu algorithmique précis.
Avec plus d'un millier de pages écrites dans un style alerte et clair, la première édition en 2011 de cet ouvrage monumental a été saluée par la critique : All together, the book under review must be seen as an invaluable replenishment of the existing textbook literature in commutative algebra (Werner Kleinert, Zentralblatt, Zbl 1242.13002). Elle fut très vite épuisée.
La présente deuxième édition, après la traduction anglaise publiée par Springer en 2015, a été révisée et bonifiée par les auteurs, si bien qu'elle avoisine les douze cents pages. Il y a maintenant plus de trois cents exercices et cinquante problèmes, le plus souvent accompagnés de solutions. La richesse et la diversité des thèmes abordés font de ce traité une fontaine de jouvence où viendront se désaltérer les amoureux, jeunes et moins jeunes, de l'algèbre savante. Un soin très particulier a été apporté à la mise en page et à la fabrication de l'ouvrage.
Cette publication chez les éditions Calvage & Mounet a constitué et constitue encore un véritable événement éditorial et fait valoir avec force le rôle de plus en plus reconnu de l'aspect effectif dans le développement des mathématiques contemporaines.
Les étudiants et enseignants en M1 et M2 sont les premiers concernés par le contenu de ce grand traité, lequel intéressera également les informaticiens théoriciens et les spécialistes en calcul formel. Enfin, les agrégatifs curieux y trouveront un nombre considérable d'idées nouvelles pour leurs leçons d'oral. Mais, au delà de ce public précis, les volutes et arabesques mathématiques qui y figurent à profusion séduiront tous ceux et celles qui continuent à faire confiance aux mathématiques comme langage pour interpréter le monde et en sonder les mystères.

Algèbre commutative, méthodes constructives : modules projectifs de type fini

Réservée autrefois aux spécialistes, la théorie des modules a fini par convaincre les plus hésitants par son efficacité et, au fond, par sa simplicité. Raisonner en termes de modules c'est donner aux éléments de l'anneau un premier souffle de vie, un peu comme on fait avec les éléments d'un groupe quand on le fait agir. Mais, au delà de cet acte averti, cette théorie s'est imposée par la portée unifiante de ses méthodes et de ses résultats. Le présent livre est un cours d'algèbre pour le Master 1, consacré précisément à la théorie des modules sur les anneaux commutatifs. La première partie traite le cas des modules de présentation finie sur les anneaux principaux. Avec de belles applications à la solution des systèmes linéaires à coefficients entiers et à la structure des endomorphismes des espaces vectoriels de dimension finie, cette première partie s'avérera un outil précieux pour la préparation à l'agrégation. La deuxième partie approfondit les notions développées dans la première, en traitant notamment les modules de présentation finie sur les anneaux d'entiers de corps de nombres, et, plus généralement, sur les anneaux de dimension 0 ou 1. L'algèbre dans la tradition d'al-Khwarismi, Viète, Gauss, Galois, Bezout, Kummer et Kronecker est une science de nature algorithmique. Dans ce traité d'algèbre moderne, les auteurs se situent dans cette tradition et adoptent le point de vue constructif, pour lequel tous les théorèmes d'existence ont un contenu algorithmique explicite. En particulier, lorsqu'un théorème affirme l'existence d'un objet, solution du problème donné en hypothèse, un algorithme de construction de l'objet peut toujours être extrait de la démonstration qui en est donnée. En ce sens, cet ouvrage est entièrement original, sans équivalent dans la littérature contemporaine. Les cent quatre-vingt-sept exercices, tous corrigés, permettront aux lecteurs de se convaincre de l'efficacité du point de vue constructif, tout en apportant parfois de précieux compléments au cours proprement dit. L'ouvrage ne réclame comme prérequis que les notions de base concernant la théorie des groupes, l'algèbre linéaire sur les corps et la théorie des déterminants.

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