Si l'invention du produit scalaire, que l'on rapporte à William Clifford et qui suppose déjà celle des vecteurs, a été un moment décisif dans la pénétration progressive et irréversible de l'algèbre en géométrie (en particulier, tout ce qui relève des longueurs, des angles, de l'orthogonalité,...), elle fut aussi un moment décisif dans la naissance des espaces de Hilbert et de leurs multiples applications, que ce soit, par exemple, en analyse de Fourier ou plus près de nous en théorie des ondelettes ou en théorie du signal.
Le présent fascicule, fruit de nombreuses années d'expérience de son auteur auprès de taupins aguerris, est consacré pour l'essentiel à la dimension finie, mais contient également de nombreuses ouvertures vers les espaces préhilbertiens réels de fonctions, et une escapade vers la méthode des moindres carrés, traitée d'une main de maître. Il couvre très largement le contenu des cours de Licence sur le sujet.
Après quelques généralités sur les formes bilinéaires et les formes quadratiques, Jean-Denis Eiden se concentre essentiellement sur les espaces préhilbertiens réels et le plus souvent sur les espaces euclidiens, vus sous les aspects algébriques, géométriques et topologiques. La topologie fournit des outils conduisant à la compréhension de la réduction des endomorphismes symétriques et de la structure du groupe orthogonal. La géométrie des espaces euclidiens s'attache à la classification des isométries et à l'étude des angles d'Euler.
On y rencontre également les inégalités et les algorithmes classiques relatifs au sujet ainsi que l'étude des endomorphismes du cas euclidien : opérateurs de projection orthogonale, opérateurs (anti)symétriques, orthogonaux, normaux.
Ce cours est illustré par plus de soixante exercices instructifs, certains étant inédits, tous corrigés. Il intéressera en priorité les étudiants en classe préparatoire ainsi que leurs professeurs, mais également tous les étudiants de Licence, les agrégatifs et les capésiatifs, sans oublier les élèves en écoles d'ingénieurs.
Une somme, en miniature, sur un sujet central.

Espaces vectoriels euclidiens ; avec une ouverture vers les espaces préhibertiens réels

La lecture des programmes de mathématiques de nos lycées et collèges, voire de nos universités, pourrait laisser penser que la Géométrie est sur le déclin. Ce livre prouve brillamment qu'il n'en est rien. La " Géométrie des Grecs " est au contraire toujours aussi resplendissante. Si " géomètre " a certes cessé d'être synonyme de " mathématicien ", la Géométrie reste plus que jamais la discipline reine des mathématiques, et la chronique royale que nous en donne ici Jean-Denis Eiden montre qu'elle n'est pas près d'abdiquer. Source irremplaçable pour l'intuition scientifique, la Géométrie a su préserver l'héritage façonné par ses maîtres d'oeuvre, de l'Antiquité à nos jours, tout en s'enrichissant des apports de l'Algèbre et de l'Analyse. Qui dit géométrie dit bien sûr figures, et le lecteur ne pourra qu'être fasciné par celles dont ces pages sont parsemées. Réalisées avec les outils très puissants que nous offre l'informatique, elles contribuent à montrer combien vaine serait l'idée de réduire la géométrie à de l'algèbre, si raffinée soit-elle. Pour nous emmener à la conquête des droites, des triangles, des cercles, des coniques, l'auteur n'exige de nous que l'équipement minimal. Les concepts indispensables sont introduits au fur et à mesure, sans recherche gratuite de généralité. Les approfondissements ne sont suggérés qu'en seconde lecture, et seulement s'ils permettent de donner à une notion un nouvel éclairage ou d'illustrer un principe général important. Avec rigueur et clarté, dans une langue impeccable qu'il manie avec un grand talent, Jean-Denis Eiden s'adresse évidemment avant tout aux amoureux de la géométrie, mais aussi à beaucoup de ceux qui ne le seraient pas encore... Son livre sera très utile aux étudiants de Licence, ainsi qu'aux candidats au CAPES ou à l'agrégation, qui y trouveront matière à donner de la chair à des leçons de géométrie, ou à illustrer des leçons d'algèbre avec des applications originales.

Géométrie analytique classique

Si vous pensez qu'il faut en finir avec l'emprunteur pot-de-terre et le prêteur pot-de-fer, ce livre vous donnera les moyens de discuter sérieusement avec votre prêteur. Il vous demandera un effort modique : maîtriser l'essentiel du bagage mathématique qui permet d'exploiter les principales potentialités d'une calculatrice scientifique. Un effort qui vaut la peine, car il vous dispensera de tout outil informatique pour comprendre et gérer vos crédits : de nombreux exemples concrets vous le montreront. Sans mathématiques, l'emprunteur est à la merci d'un gestionnaire qui le renvoie sans recours, et sans autre justification que l'autorité, à un mystérieux logiciel inaccessible qui a pensé pour lui, calculé pour lui et contre lequel toute critique reste sans écho. C'est dire que l'ignorance livre les emprunteurs pieds et poings liés aux usuriers... Avec un minimum de mathématiques, au contraire, l'emprunteur peut non seulement se passer de ces mystérieux logiciels, mais détecter si oui ou non ils sont fiables, voire obtenir des remises substantielles...

Crédits, méfiez-vous ! - Un peu de maths pour comprendre le crédit et en éviter les pièges

Paris est le seul lieu du monde où il existe de ces maisons éclectiques où tous les goûts, tous les vices, toutes les opinions sont reçus avec une mise décente (Balzac, Une fille d'Eve, 1939). Le livre que vous tenez en main est une oeuvre délicate, qui brasse des mathématiques accessibles aux étudiants de M1. Comme son titre l'indique, l'ouvrage réunit des sujets très divers, pensés nonobstant avec soin : il en résulte un assortiment de thèmes dont le dénominateur commun est l'harmonie des genres et la joliesse des résultats. Les auteurs l'ont construit sur une longue durée, dans un style rigoureux, sans se fourvoyer pour autant dans une minutie qui serait inappropriée au niveau où ils se placent. Ils expriment dans leur préface la pensée suivante : "Nous aurions aimé avoir un tel recueil quand nous étions encore étudiants, et en bénéficier quand nous préparions, plus tard, à l'intention de nos élèves, nos cours et nos séances de travaux dirigés". La théorie des modules et la théorie de Galois forment l'ossature de l'ouvrage. On y trouve aussi un chapitre exhaustif sur les anneaux Z/Z, d'autres sur les anneaux généraux, les polynômes symétriques, les corps finis, la réduction des endomorphismes et la théorie algébrique des nombres. Si la théorie des groupes, qui fait partie du programme de licence, occupe une place cruciale dans les prérequis, elle est revisitée ici avec fine attention. Car, comment ferait-on autrement si l'on a en vue l'introduction, comme il se doit, des modules sur un anneau R à travers les représentations de R dans des groupes abéliens, et si l'on prétend par ailleurs avoir une réelle maîtrise de la théorie des extensions algébriques des corps, quand il s'agira en particulier de la correspondance de Galois ? Le public auquel s'adresse cet ouvrage dépasse, il va sans dire, celui des seuls étudiants de quatrième année des universités, et inclut les brillants élèves des classes préparatoires ainsi que leurs professeurs, mais également les agrégatifs et, au delà, tous les amoureux de l'algèbre en général. Gentiane Danila, Jean-Denis Eiden et Rached Mneimné réussissent avec brio et grand soin dans leur ambitieux projet, et nous offrent ainsi un texte original qui restera pour longtemps une référence de choix. Les lectrices et lecteurs qui viendront à ces mathématiques par l'attrait des fragrances promises moissonneront en travaillant ce livre des gerbes de blés dorés et de pépites mathématiques.

Algèbre éclectique - Un bouquet de thèmes et d'exercices pour le M1

Cette sélection de plus de deux cent vingt exercices couvre l'ensemble du programme des spé MP et PSI. Les chapitres du programme sont méthodiquement visités l'un après l'autre, et l'éclairage exceptionnel qu'apporte l'auteur sur l'ensemble de ce champ mathématique est le fruit d'une haute expérience en la matière. Jean-Denis Eiden garde en vue aussi que, au delà des programmes qui fluctuent, il y a un savoir mathématique fondamental que le taupin doit avoir assimilé et maîtrisé. II n'est pas inutile de rappeler que nombre de techniques de calcul, qui figuraient dans les cours de prépa jusque dans les années quatre-vingt et qui couvraient des domaines aussi variés que les calculs de primitives, la résolution d'équations algébriques, la manipulation de polynômes symétriques, se sont progressivement effacées, nécessaire évolution des temps, devant l'Algorithmique et s'effaceront bientôt davantage devant les Probabilités. Cependant, maints exercices posés encore actuellement présupposent une maîtrise minimale de ces savoir-faire ; sans qu'une part disproportionnée leur soit accordée, ces techniques sont ici mises à l'honneur chaque fois que cela se révèle possible. Jean-Denis Eiden offre régulièrement à ses amis des mirabelles de Lorraine et des prunes bleues de l'Ontario, délicieux fruits qu'il cultive avec soin aux quatre coins de son jardin. Ici, il offre à la communauté des taupins et à leurs professeurs, aux agrégatifs ou capésiens, un délicat bouquet de jolies fleurs. Non pas des roses, des dahlias ou des rhododendrons, mais des exercices printaniers au parfum rustique et aux couleurs diaphanes et écarlates, qui sont corrigés dans un style inimitable...

Le jardin d'Eiden - Une année de colles en Math Spé MP

Il était temps d'unir dans un même ouvrage une introduction raisonnée aux formes quadratiques et une présentation moderne de la géométrie classique, une présentation qui fonde solidement sur des bases algébriques claires et rigoureuses l'étude de la géométrie du triangle et celle des sections coniques. Les auteurs ont eu à coeur non seulement de répondre à cette attente, mais ont fait de leur mieux pour distinguer ce qui relève du cadre affine ou projectif et ce qui est spécifique au cadre euclidien. L'axiomatisation de la géométrie avec l'introduction des structures a rendu depuis bien longtemps cela possible. Il fallait cependant que quelqu'un s'attelât à produire un texte à la fois précis et beau sur le sujet. A. Debreil, J.-D. Eiden, R. Mneimné et T.-H. Nguyen ont accompli avec élégance et savoir-faire cette tâche, et le font ici dans un style sans faille et haut en couleurs. Cet ouvrage s'adresse au lecteur à mi-chemin entre celui qui est tout novice, qui n'en connaît presque rien, et celui qui a trop senti, et qui en sait déjà un peu trop. Il s'adresse aussi à ceux et celles qui aiment la géométrie pour elle-même, et qui s'émerveillent jeunes ou âgé(e)s devant une figure où s'entrelacent droites, triangles et coniques, et là où se décline sans mot dire quelque secret aux soubassements du monde.

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