Le but du livre est de définir et développer une grande gamme d'outils probabilistes pour la modélisation en biologie des populations, afin de décrire des dynamiques temporelles de quantités biologiques telles que la taille d'une ou plusieurs populations, la proportion d'un allèle dans une population ou la position d'un individu. En partant de modèles markoviens discrets (marches aléatoires, processus de Galton-Watson), nous abordons progressivement le calcul stochastique et les équations différentielles stochastiques, puis les processus markoviens de saut, tels les processus de branchement à temps continu et les processus de naissance et mort. Nous étudions également les processus discret et continu pour l'évolution génétique et les généalogies : processus de Wright-Fisher et coalescent. Le livre détaille systématiquement les calculs de quantités d'intérêt pour les biologistes. De nombreux exercices d'application sont proposés. Le dernier chapitre montre l'apport de ces outils pour des problématiques biologiques actuelles. Il développe en détail des travaux de recherche très récents.

Modèles aléatoires en Ecologie et Evolution

Ce livre introduit le concept de Probabilité, dont la puissance permet de modéliser d'innombrables situations où le hasard intervient. II est issu d'un cours donné en première année de l'Ecole Polytechnique et s'adresse à tous les élèves, quelle que soit leur filière d'origine. La modélisation probabiliste est fondamentale dans tous les domaines d'applications, qu'ils soient issus des sciences dures ou des sciences humaines, telles la physique, l'informatique et les réseaux de télécommunication, et plus récemment la finance, l'assurance, la biologie et la médecine. Cette liste n'est pas exhaustive mais reflète l'immense champ de développement de cette science mathématique et son emprise sur les grandes évolutions technologiques et sociologiques de notre monde. Pour pouvoir modéliser tant de situations de nature très différente où le hasard intervient, un cadre général abstrait est nécessaire, qui ne fut rigoureusement défini qu'en 1933 (le modèle probabiliste de Kolmogorov), nécessitant préalablement le développement de théories d'analyse importantes telles le calcul intégral et la théorie de la mesure. C'est ce grand écart entre l'apparente simplicité de certains problèmes probabilistes concrets et l'abstraction que nécessite leur résolution qui peut rendre le monde de l'aléatoire difficile ou inquiétant, mais c'est aussi ce qui en fait un domaine mathématique fascinant et palpitant. Le but de ce livre est d'en convaincre le lecteur, par une introduction qui se veut simple et lumineuse, des notions de base de la théorie des probabilités. Il n'exige pas de pré-requis en théorie de la mesure et de l'intégration. Les outils d'analyse nécessaires à une bonne compréhension des objets probabilistes sont donnés au fur et à mesure de leur construction, mettant ainsi en lumière leur nécessité. Le corpus du livre va de la définition d'une probabilité au théorème de la limite centrale, avec de plus un dernier chapitre d'ouverture vers les processus aléatoires. A la fin de chaque chapitre sont donnés des exercices dont les corrections sont développées en fin de livre. Quelques textes d'examens sont également proposés et corrigés. Des simulations, proposées dans ce cours de l'Ecole polytechnique, peuvent accompagner la lecture de cet ouvrage et en illustrer la compréhension. Elles se trouvent à l'adresse http://www.cmapx.polytechnique.fr/-benaych/aleatoire_index.html. Nous remercions en cela la participation de leur auteur Florent Benaych-Georges.

Aléatoire - Introduction à la théorie et au calcul des probabilités

Cet ouvrage contient les énoncés et les corrigés des compositions d'analyse des concours des CAPES externe et interne de mathématiques de 1991 à 1996.

Conçu dans le même esprit que celui d'algèbre et géométrie, il bénéficie de l'expérience des auteurs à l'université Pierre et Marie Curie et au Centre national d'enseignement à distance (CNED) en matière de préparation aux concours. Les corrigés des problèmes sont précédés de rappels de cours d'analyse et de probabilités qui prennent en compte les modifications intervenues récemment dans les programmes et l'évolution des concours. Excepté un paragraphe sur l'intégration numérique, aucune des démonstrations n'est donnée car elles figurent dans tous les manuels de cours classiques. Ces rappels fournissent l'essentiel des théorèmes à connaître pour résoudre correctement les épreuves des concours. Un soin particulier a été apporté à la rédaction, afin de permettre au candidat de répondre aux exigences du jury.

Ce recueil s'adresse donc aux candidats qui veulent s'imprégner de l'esprit de ces concours. Les étudiants de premier cycle ou de Mathématiques supérieures et spéciales qui veulent élargir leur vision des mathématiques et les professeurs qui recherchent des thèmes de problèmes pour leurs élèves trouveront ici un ensemble de sujets originaux et variés.

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