Pour sa thèse qu'il exposa dès 1797, Gauss a fourni une démonstration difficile et topologiquement incomplète du théorème qui affirme l'existence d'au moins une racine complexe à tout polynôme réel non constant : tel se présente le théorème fondamental de l'algèbre. Gauss ne supposait pas l'existence des entités qui avaient été imaginées par Descartes pour permettre la décomposition de tout polynôme en facteurs du premier degré. En 1795, Laplace avait en effet rigoureusement démontré que ces « imaginaires », une fois supposés, se réduisaient aux nombres complexes, lesquels accaparaient le nom de « quantités imaginaires ». Une dizaine d'années après, Argand fournissait une démonstration aisée du théorème fondamental. Des démonstrations inventives différentes se succédèrent, de Gauss encore, de Cauchy, de Liouville, etc., et trouvèrent une place variable dans les grands traités classiques des mathématiques européennes jusqu'à la fin du XIXe siècle, où l'analyse réelle restait séparée de l'analyse complexe. C'est cette période d'un siècle que le présent volume inventorie, donnant à lire en français les textes correspondants, explicitant le contexte intellectuel des preuves, mais réservant pour un prochain et dernier volume les explications algébriques à la façon de Galois et les preuves données au XXe siècle.

Une histoire de l'invention mathématique - Les démonstrations du théorème fondamental de l'algèbre dans le cadre de l'analyse réelle et de l'analyse complexe de Gauss à Liouville

L'histoire est un choix et non une nécessité. Au contraire de la mathématique enseignée qui, par souci d'économie et d'efficacité pédagogique, se présente comme une pensée presque toujours unique. Nous choisissons le théorème fondamental de l'algèbre, juste avant qu'il porte un tel nom. On l'énonce aujourd'hui sous une forme minimale : un polynème non réduit à une constante et à coefficients réels possède au moins une racine de forme complexe. Pour rester dans un cadre élémentaire, ce premier volume s'arrête juste avant la première preuve de Gauss, et bien sûr avant l'intervention de Galois. La simplicité de l'énoncé du théorème fondamental de l'algèbre n'est contaminée par aucune écriture symbolique absconse. Polynèmes, constantes, coefficients, racines, nombres complexes, nullité d'une expression algébrique, ces quelques mots disent le contexte du théorème. Parlons d'une banalisation d'une forme polynomiale : ce théorème est devenu sens commun, celui de l'algébre élémentaire, voire aussi de l'algébre commutative. L'histoire est celle de la notion d'imaginaire inventée par Descartes jusqu'à sa réduction à un nombre complexe. Mais l'adjectif « complexe » qualifie la nature du nombre, et non un type de raisonnement. Car le théorème et ses preuves font comprendre ce qui est simple, et la complexité réfère seulement à la présence de deux unités de mesure, au lieu d'une seule, comme lorsque l'on écrivait autrefois une longueur en 2 pieds 3 pouces. Sous le prétexte qu'il s'agit aussi d'une histoire érudite et que plus de cent cinquante années s'écoulèrent entre une affirmation de Descartes en 1637 et la dernière démonstration envisagée qui est celle de Laplace en 1795, notre rôle ne doit surtout pas être de surcharger de difficultés, même en prenant en compte les diverses tentatives d'enseignement des mathématiques à cette période, les difficultés non résolues d'Euler et de Lagrange, et l'avancée de Jean d'Alembert. La simplicité recouvre bien des débats, sur le rôle du signe et de sa mise en oeuvre dans la pensée en général et il n'est pas banal de voir ainsi hésiter de grands mathématiciens sur ce qui est devenu simple, mais on apprend beaucoup sur ce que c'est que penser en mathématiques.

Une histoire de l'imaginaire mathématique - Vers le théorème fondamental de l'algèbre et sa démonstration par Laplace en 1795

Carlos Alvarez est un joueur de soccer américain né le 12 novembre 1990 à Los Angeles. Il évolue au poste de milieu de terrain.

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