Le problème ouvert est une situation d'enseignement qui place l'élève dans la position d'un mathématicien confronté à un problème dont il ne connaît pas la solution. Il devra donc mettre en œuvre une " démarche scientifique " : essayer, conjecturer, tester, prouver. Introduite au collège par l'IREM de Lyon il y a plus de vingt ans, cette pratique est étendue aux écoles primaires, aux classes de SEGPA, aux lycées, aux IUFM. Vous trouverez ici une présentation détaillée des problèmes ouverts et d'autres pratiques parallèles, des exemples d'utilisation, des rapports d'expérimentations, des énoncés et des propositions de mise en œuvre à tous les niveaux.

Les pratiques du problème ouvert

L'axiomatique de Hilbert et l'enseignement de la géométrie au collège et au lycée

Au début du XIXe siècle, plusieurs mathématiciens se posent la question de la continuité de la somme d'une série de fonctions continues. À cette occasion, Seidel et Stokes en 1847, puis Cauchy en 1853, découvrent la notion maintenant appelée convergence uniforme. Toutefois, cette découverte est précédée d'énoncés faux publiés par Cauchy et Abel.

S'appuyant sur les textes écrits par ces quatre auteurs, Gilbert Arsac décrit l'évolution historique des mathématiques et explique leur démarche erronée : les outils de raisonnement utilisés à l'époque dans le domaine des limites, qu'il s'agisse des concepts ou de la logique sous-jacente au discours, étaient insuffisants pour la solution du problème soulevé. La convergence uniforme apparaît donc comme annonciatrice d'un tournant dans le raisonnement mathématique, déjà clairement présent chez Seidel, qui changera les outils de raisonnement en analyse, et amènera au classique raisonnement « weirstrassien » en (e, d) dans le domaine des limites.

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