Le second volume de ce Précis, auquel ont contribué vingt chercheurs, comble une lacune éditoriale dans la philosophie contemporaine francophone. Après une présentation exhaustive de la philosophie des mathématiques de l'Antiquité au XXe siècle, l'ouvrage traite de plusieurs questions cruciales : la confrontation de la théorie des ensembles et de la théorie des catégories comme cadre fondationnel pour les mathématiques, le constructivisme mathématique, l'analyse de la calculabilité et le dilemme de Benacerraf. Ce volume interroge également la philosophie de la pratique mathématique à travers les notions d'idéaux de preuve (en particulier l'explicativité et la pureté) et de preuves informelles, et l'usage d'artefacts visuels dons l'argumentation. Enfin, il explore l'applicabilité des mathématiques et le rôle de la probabilité. Il s'adresse à la fois aux philosophes et aux étudiants de philosophie intéressés par les mathématiques, et aux mathématiciens et scientifiques qui souhaitent porter un regard philosophique sur leur discipline. Le premier volume, consacré à la philosophie de la logique, est dirigé par Francesca Poggiolesi et Pierre Wagner. Le projet commun est d'offrir une introduction riche, pédagogique et claire aux principaux débats contemporains de philosophie des mathématiques et de la logique.

Précis de philosophie de la logique et des mathématiques - Volume 2, Philosophie des mathématiques

Longtemps la géométrie, science de la quantité continue, fut opposée à l'arithmétique, science de la quantité discrète. L'analyse et l'algèbre ont fonctionné comme outils de communication.
L'analyse a été un mode de raisonnement sur ce qui n'est pas donné, l'algèbre une technique appliquée, grâce à un langage commun, autant à la géométrie qu'à l'arithmétique. Elles se sont transformées par un long processus, dont certaines étapes importantes sont étudiées dans ce livre. Le premier chapitre traite des origines conceptuelles et de l'évolution de l'analyse jusqu'à Descartes. Le second aborde les fondements constructifs de la géométrie euclidienne, qui utilise les diagrammes pour les relations spatiales. Le troisième étudie la réforme cartésienne de cette géométrie, ouvrant la voie à de nouvelles applications de l'algèbre à la théorie des courbes. Le quatrième discute la tentative de Lagrange de faire de l'analyse - dite "algébrique" - la base ultime des mathématiques. Le cinquième explore les prolongements de cette tentative à la mécanique, dite "analytique".

Modes de l'analyse et formes de la géométrie

Cet ouvrage n'a aucun équivalent dans la littérature philosophique française et étrangère, hormis le classique de Léon Brunschvicg, Les étapes de la philosophie mathématique, paru chez Alcan en 1912. Il se concentre sur le devenir d'un argument majeur en philosophie des mathématique, voire son argument ontologique fondamental : le platonisme ou réalisme mathématique, soit la thèse selon laquelle les assertions des mathématiques, notamment les théorèmes des mathématiques, font référence à un domaine d'objet abstrait, une réalité séparée aussi bien du monde physique que des vécus psychiques, c'est-à-dire des deux dimensions, externes et internes, de notre expérience. Cette thèse, dont on va suivre toutes les vicissitudes depuis sa formulation initiale, n'est pas considérée du point de vue métaphysique traditionnel, mais bien d'un point de vue épistémologique : dans son opérativité propre, sa valeur explicative relativement au domaine même des mathématiques. La première partie suit l'histoire du platonisme mathématique, des origines à Gödel (1930). La seconde partie se consacre de façon neuve à un chapitre de l'histoire contemporaine de la philosophie des mathématiques : chapitre aujourd'hui fort connu dans le monde anglophone, mais qui n'avait jamais trouvé sa place dans l'historiographie philosophique en langue française. La dernière partie aborde l'une des controverses majeures qui traverse actuellement le champ de la philosophie contemporaine des mathématiques. Il s'agit de la dernière défense et illustration du platonisme en philosophie des mathématiques, née dans une certaine mesure d'une résolution du dilemme de Benacerraf, et représentée par Willard van Orman Quine.

Introduction à la philosophie des mathématiques - Le Problème de Platon

Cet ouvrage répond à une double exigence: d'une part expliquer comment la construction de l'édifice mathématique se mêle à des questionnements philosophiques; de l'autre, offrir une introduction élémentaire aux théories mathématiques des nombres naturels, rationnels et réels. L'objectif est de présenter un modèle de rigueur dont le raisonnement philosophique devrait pouvoir s'inspirer. II a été écrit avec la conviction qu'aucune théorie mathématique ne peut être appréhendée sans que l'on comprenne le but qu'elle poursuit et les raisons qui la motivent. Même la plus formelle des théories, même le plus rigoureux des systèmes axiomatiques ne sont que l'expression de la structure logique d'une réalité. L'auteur cherche à montrer cette réalité et à reconstruire le parcours allant de celle-ci aux théories mathématiques qui l'expriment. De nombreuses notes historiques ponctuent le texte et ouvrent une perspective sur l'évolution de ces théories. Écrit pour des étudiants en philosophie, le livre est également destiné à des étudiants de science, aux enseignants, et à tous ceux qui s'intéressent à l'histoire et à la philosophie des mathématiques.

Nombres : Eléments de mathématiques pour philosophes

Encore jeune (il est né en 1642), Isaac Newton élabore entre 1664 et 1666 la théorie des fluxions, théorie qui constituera à son tour une étape fondamentale d'un long chemin qui a conduit à concevoir l'analyse mathématique comme une théorie des fonctions. Toute la question est de savoir comment Newton, à partir des objets mathématiques fournis par Descartes dans sa
Géométrie et par Wallis dans son Arithmétique des infinis, a pu concevoir les nouveaux objets de sa théorie. Ce livre est entièrement consacré à la restitution de ce chemin, important à la fois pour l'histoire des mathématiques et pour la philosophie des mathématiques, à partir des manuscrits de Newton édités et traduits dans les dernières décennies.

Newton et les origines de l'analyse : 1664-1666

Isaac Newton (1642-1727), mathématicien, physicien, théologien, historien, alchimiste, homme politique et grand commis de l'État, est à l'origine d'une révolution culturelle dont les effets continuent de se faire sentir: l'auteur des Principia Mathematica (1684) a donné sa pleine expansion à la science - telle que la conçoivent les Modernes - en mathématisant le monde, en l'expliquant sans faire intervenir de considération sur la structure ultime du cosmos ou sur le plan de Dieu pour l'univers.À partir de Newton, la science laisse à la métaphysique et à la religion le soin de s'interroger sur l'origine des phénomènes physiques et se donne pour tâche l'établissement, de plus en plus rigoureux, des lois gouvernant ces phénomènes - origine du succès planétaire de la science, une fois relayée par la technique.On essaie ici de restituer les grands moments de l'oeuvre de cet immense savant, associé à la naissance de l'astronomie moderne à l'explication du mouvement des planètes (avec l'hypothèse d'une force gravitationnelle attirant ces planètes vers le soleil ainsi que les unes vers les autres) à la théorie du mouvement (la mécanique) qu'elle suppose à une explication des phénomènes de la couleur appuyée sur une conception nouvelle de la structure de la lumière à de grands résultats mathématiques, entre autres l'invention du calcul infinitésimal.On évoque également sa théologie, son activité politique et administrative, son intérêt pour l'histoire et pour l'alchimie: c'est la place de la rationalité dans la société moderne qui s'en trouve du même coup dévoilée.

Newton

La fin du XIXe siècle marque pour plusieurs sciences une période de réflexion épistémologique d'envergure, conduite le plus souvent par les savants eux-mêmes. Désorientés par des bouleversements profonds, ces scientifiques considèrent comme de première nécessité un examen systématique des fondements de leur discipline.
L'ampleur du phénomène surprend. D'une part son extension on le constate pratiquement dans toutes les sciences, bien que sous des formes différentes. D'autre part sa profondeur : cette réflexion vise les aspects les plus fondamentaux des disciplines concernées, chaque hypothèse ou prémisse pouvant voir sa légitimité contestée. La plupart des savants sont guidés dans leurs recherches par une certaine vision de leur science, et c'est à cette épistémologie implicite, inconsciente quelquefois, à ce non-dit que sont consacrés les textes de cet ouvrage.
Cette épistémologie, on peut la lire non seulement au coeur même de la partie scientifique de l'oeuvre, mais dans l'espace d'une incise, le détour d'une préface, le choix d'un adverbe, le hasard d'un discours académique, pour peu que l'on procède à une lecture différente, attentive à l'expression parfois involontaire des paradigmes, attentive à celles des nuances de la pensée qui s'expriment par le langage courant.

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