Les ouvrages de mathematiques dans l'histoire - entre recherche, enseignement et culture

Cet ouvrage met en scène, en dix chapitres, des instruments qui ont été inventés dans l'histoire pour résoudre des problèmes pratiques, esthétiques ou théoriques. Il a été conçu dans le cadre de la Commission inter-IREM "Epistémologie et histoire des mathématiques" et s'adresse à toutes les personnes intéressées par les sciences et les techniques : étudiant, enseignant, formateur, ingénieur, amateur, tous désireux de comprendre les ressorts de l'invention mathématique par une approche historique de cette discipline.

Les constructions mathématiques avec des instruments et des gestes

Cet ouvrage concerne les pratiques mathématiques avec les figures et les lettres, mais aussi les relations entre les figures et les lettres mathématiques. La distinction entre figures et lettres semble aller de soi et ce n'est pas le moindre intérêt de ces pages que de la questionner, en resituant leurs conceptions et leurs usages dans l'histoire des mathématiques. Selon les époques. on peut entendre par " figures ", celles de la géométrie élémentaire - triangle ou rectangle par exemple -, mais aussi les tableaux - triangle de Pascal ou matrice -, ou les graphes - arbres et réseaux. Par " lettres ", on peut penser aux chiffres, aux lettres de l'alphabet qui désignent les parties d'une figure géométrique - sommet ou angle d'un triangle -, mais aussi aux inconnues de l'algèbre ou aux variables et fonctions de l'analyse. Mais comment qualifier d'autres signes, comme l'accolade, qui jouent un rôle dans la disposition de l'écriture mathématique ? Au-delà de la distinction habituelle entre figures et lettres, il y a lieu d'analyser leurs usages. Plus radicalement, on peut aussi ramener les mathématiques à ce qui se conserve et se transmet, c'est-à-dire à des traces sur une tablette, un parchemin ou une feuille. que le mathématicien marque et regarde. à partir desquelles il imagine et il crée. Mais alors la distinction entre figures et lettres peut paraître moins simple, plus délicate ou même non pertinente. Du coup, nous sommes renvoyés à la question des pratiques des mathématiciens avec les signes. De ce point de vue, la perspective historique est particulièrement instructive, et c'est pourquoi le 17ème Colloque Inter-Irem organisé par la Commission Inter-Irem Histoire & Epistémologie des Mathématiques, en association avec la Commission Géométrie, qui s'est tenu les 23 et 24 mai 2008 à Nancy était consacré au thème de " La Figure et la Lettre en mathématiques ". Il n'aurait pas eu lieu sans le soutien actif de l'lrem de Lorraine et des Archives Poincaré, ni de la Maison des Sciences de l'Homme de Lorraine.

La Figure et la Lettre - Actes du 17ème Colloque organisé les 23 et 24 mai 2008

Les différents chapitres de cet ouvrage s'intéressent à " l'art-science ", c'est-à-dire au mélange de sciences et d'arts dans la peinture, l'architecture, la sculpture, la musique ou la poésie à la Renaissance. Ils expliquent les investigations que les artistes vont entreprendre pour rendre compte exactement du réel et pour imiter parfaitement la nature. Les peintures de Léonard de Vinci sont instruites par les pratiques de la dissection et les connaissances anatomiques. Les peintres et les architectes inventent des méthodes de représentation en perspective. Les anamorphoses, au contraire, leur servent à déformer curieusement le réel. Dans son traité de sculpture, Alberti donne un tableau des mesures humaines et propose un appareil qui repère chaque point de la statue par des coordonnées. Vincenzo Galilei entreprend des expériences sur les cordes de son luth, qui inaugurent une nouvelle physique. Johannes Kepler établit un lien entre consonances et polygones constructibles à la règle et au compas. Jacques Peletier du Mans, invente la " poésie scientifique ". Tandis que les ouvrages de botanique, de zoologie, de géométrie ou de fortification contiennent des images aussi fidèles que possible à la réalité, mais aussi des images d'êtres mythiques.

Arts et sciences à la Renaissance

- D'où viennent les mathématiques qui sont enseignées ?
- Pourquoi et comment ont-elles été introduites et comprises ?
Cet ouvrage rassemble 80 courts épisodes historiques où le lecteur est invité à faire des mathématiques avec celles et ceux qui les ont inventées. Il apprend quels étaient les problèmes qu'ils voulaient résoudre. Car il n'y aurait pas de mathématiques sans problèmes, mathématiques ou non. Il fait connaissance avec les protagonistes qui cherchent à résoudre ces problèmes, leurs accords et leurs désaccords sur les solutions apportées, leurs disputes. Car les mathématiques sont une grande aventure humaine, dans laquelle des femmes et des hommes de partout se lisent et échangent. Il peut suivre la construction des écritures, notions, algorithmes, méthodes et théories, qui ont été introduits pour résoudre des familles de problèmes.
Car les mathématiques puissantes d'aujourd'hui sont au bout d'un long chemin qu'il faut avoir suivi pour mieux les mettre en oeuvre.

Faire des mathématiques avec l'histoire au lycée

Cet ouvrage propose une histoire de la révolution mathématique du XVIIe siècle, à l'intérieur de laquelle de nouvelles mathématiques ont été construites et la nature a été construite en termes mathématiques.

La révolution mathématique du XVIIe siècle

Les questions de la rigueur et de la validation d'un raisonnement ont été des sujets de débats et de controverses entre mathématiciens. Les idées de rigueur, d'évidence et de démonstration ont changé au cours des époques. Il y a une historicité de ces idées. De même la a qualification d'erreur doit être prise dans un contexte historique. Aussi, doit-on parler, au pluriel, de rigueurs, d'erreurs et de raisonnements, dans l'histoire. Ces constats suscitent de nombreuses questions sur la temporalité des apprentissages mathématiques. Qu'accepte-t-on comme rigoureux, comme évident, au collège, au lycée à l'universitéoe Que décide-t-on de démontreroe Quand et pourquoioe Est-ce qu'il y a des niveaux de rigueur et d'abstraction au cours de la scolaritéoe Lesquelsoe Comment distinguer entre erreur et insuffisance d'un raisonnement, au collège, au lycée, à l'universitéoe Quelles explicitations de ces questionnements et quelles réponses les enseignants doivent-ils élaborer pour eux-mêmes ou pour leurs élèvesoe. Cet ouvrage est issu des travaux de la commission inter-IREM "Epistémologie et histoire des mathématiques" menés dans le cadre d'un projet INRP-IREM sur l'histoire et l'épistémologie dans la formation mathématique.

Histoire et enseignement des mathématiques ; rigueurs, erreurs, raisonnements

Le dernier tiers du XIXe siècle correspond en France à une période de restructuration des communautés scientifiques, en particulier après le choc de la défaite contre la Prusse et l'instauration de la République : en témoignent la création de nouvelles associations et sociétés savantes (comme la Société mathématique de France en 1872) et la publication de nouveaux périodiques, en particulier ceux destinés à un public en pleine expansion d'enseignants, d'étudiants et d'amateurs éclairés. Parallèlement en effet aux innovations fondées sur des outils avancés d'analyse complexe ou de théorie des groupes, développées dans les institutions traditionnelles (Académie des sciences, universités, Ecole normale supérieure), de nouveaux milieux s'intéressent à la mathématisation d'objets variés, des jeux de société au tissage. Certaines de leurs recherches connaissent un renouveau récent, notamment lié au développement de la combinatoire et de l'algorithmique, et c'est à ces aspects qu'est consacré le présent ouvrage.

Les ouvrages de mathematiques dans l'histoire - entre recherche, enseignement et culture

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