Au carrefour de l'algèbre et de la géométrie, cet ouvrage est centré sur la notion d'action de groupe, la forme la plus moderne et la plus achevée mathématiquement de l'idée de symétrie. Deux théories classiques : l'algèbre linéaire et la théorie des groupes finis, sont étudiées et approfondies au moyen de ce langage. La note sur l'algèbre linéaire approfondit plusieurs chapitres du programme des classes préparatoires et de l'agrégation. L'usage de la notion d'action de groupe met en valeur des objets géométriques jusqu'ici négligés et permet une compréhension en profondeur de tout ce qui relève de la réduction des matrices. Les professeurs des classes préparatoires y trouveront matière à renouveler leur enseignement (et les interrogateurs de concours, leurs énoncés...). La note consacrée à la théorie élémentaire des groupes finis donne l'occasion de comprendre à fond les théorèmes de Sylow et la notion de produit semi-direct : l'approche choisie consiste à examiner avec le plus grand soin un certain nombre d'exemples particuliers. Plus de la moitié du livre est consacrée à des exercices, assortis de commentaires et de très substantielles indications.

Éléments de géométrie - Tome I Actions de groupes

Si la théorie des groupes est la voie royale pour appréhender mathématiquement l'idée de symétrie, le groupe symétrique 64 est la clé indispensable et l'exemple fondamental pour pénétrer le monde des groupes et en posséder les truculents arcanes. Les auteurs ont voué ce fascicule à la présentation de ce groupe particulier, afin d'en dévoiler les avatars et faire connaissance avec ses proches amis ou cousins.

Cet opuscule consacré au groupe symétrique 64 est unique en son genre. Alain Debreil et Rached Mneimné ont traqué ce groupe un peu partout dans le champ mathématique et l'ont débusqué certaines fois en des lieux où il se dissimulait candidement sous des habillages inattendus, parmi des compères complices ou de simples compagnons de route.

On arrive en parcourant ce livre à la conviction que tout apprenti mathématicien devrait connaître 64 comme un enfant de neuf ans doit connaître sa table de multiplication. Qu'il soit présent dans le cube ou dans le tétraèdre régulier, ou comme le groupe des automorphismes du groupe quaternionique H8, ce groupe séduit par son ubiquité et sa grâce et fera, nul doute, le plaisir des étudiants en mathématiques et autres agrégatifs, mais également celui des chimistes et physiciens concernés par les structures cristallographiques.

Le groupe symetrique S4 et ses métamorphoses ; une introduction à la symétrie

La réduite de Jordan et les tableaux de Young constituent le thème principal du présent ouvrage. La maîtrise de la réduction s'acquiert par un retour attentif et critique sur les fondements, depuis les valeurs propres jusqu'à la géométrie des classes de similitude. Ainsi l'apparente complexité du cas nilpotent s'estompe-t-elle lorsque l'on se ramène à la combinatoire élémentaire des tableaux de Young. Le chemin est alors libre vers l'apprentissage des représentations de l'algèbre de Lie des matrices d'ordre deux de trace nulle, véritable génome de la théorie des représentations des algèbres de Lie semi-simples. Les liens subtils entre la réduction de Jordan et les sl2-triplets sont alors mis à contribution pour comprendre la structure des algèbres de Lie semi-simples, leurs sous-algèbres de Cartan et les systèmes de racines qui leur sont associés. Les représentations irréductibles de dimension finie de ces algèbres de Lie sont
étudiées et apparaissent alors comme un développement naturel de la réduction simultanée.

Réduction des endomorphismes - Tableaux de Young, Cône nilpotent, Représentations des algèbres de Lie semi-simples

Un manuel concis pour maîtriser l'algèbre linéaire en L1 et en L2, en 2nde année de CPGE ou pour les concours de l'enseignement avec des rappels de cours et de nombreux exercices corrigés.

Depuis les rappels sur les fondements de la théorie de la dimension, du rang et des systèmes linéaires jusqu'à la mise en place des méthodes et des objets fondamentaux de la réduction des endomorphismes, ce manuel répond aux besoins spécifiques des étudiants sur cette partie du programme d'algèbre.Chaque énoncé d'exercice, accompagné d'un rappel de cours, est l'occasion d'en présenter la thématique qui le replace dans un contexte mathématique signifiant (et non pas déconnecté de l'apprentissage). Les auteurs en proposent un éclairage multiple, et livrent une (ou plusieurs) solution(s) ainsi que divers développements apparentés.
Cette deuxième édition augmentée (+ 48 pages), intègre deux nouveaux chapitres consacrés à la réduction des endomorphismes spéciaux d'un espace euclidien et à l'exponentielle de matrice, une dizaine d'exercices très récents issus des annales des concours aux grandes écoles et une annexe sur la parallèle avec les groupes abéliens finis.
Sommaire : 1. Polynômes d'endomorphismes - 2. Sous-espaces stables - 3. Commutation - 4. Lemme des noyaux - 5. Éléments propres, caractéristiques - 6. Endomorphismes cycliques - 7. Théorème de Cayley & Hamilton - 8. Diagonalisation - 9. Trigonalisation - 10. Réduction et algèbre bilinéaire - 11. Réduction de Jordan - 12. Réduction de Frobenius -13. Topologie des classes de similitudes - 14. Localisation des valeurs propres - 15. Application aux chaînes de Markov finies - 16. Exponentielle de matrices - Annexe : Parallèle avec les groupes abéliens finis - Notations - Index

Algèbre linéaire : réduction des endomorphismes ; cours et exercices corrigés licence, prépas, CAPES et Agrégation

Paris est le seul lieu du monde où il existe de ces maisons éclectiques où tous les goûts, tous les vices, toutes les opinions sont reçus avec une mise décente (Balzac, Une fille d'Eve, 1939). Le livre que vous tenez en main est une oeuvre délicate, qui brasse des mathématiques accessibles aux étudiants de M1. Comme son titre l'indique, l'ouvrage réunit des sujets très divers, pensés nonobstant avec soin : il en résulte un assortiment de thèmes dont le dénominateur commun est l'harmonie des genres et la joliesse des résultats. Les auteurs l'ont construit sur une longue durée, dans un style rigoureux, sans se fourvoyer pour autant dans une minutie qui serait inappropriée au niveau où ils se placent. Ils expriment dans leur préface la pensée suivante : "Nous aurions aimé avoir un tel recueil quand nous étions encore étudiants, et en bénéficier quand nous préparions, plus tard, à l'intention de nos élèves, nos cours et nos séances de travaux dirigés". La théorie des modules et la théorie de Galois forment l'ossature de l'ouvrage. On y trouve aussi un chapitre exhaustif sur les anneaux Z/Z, d'autres sur les anneaux généraux, les polynômes symétriques, les corps finis, la réduction des endomorphismes et la théorie algébrique des nombres. Si la théorie des groupes, qui fait partie du programme de licence, occupe une place cruciale dans les prérequis, elle est revisitée ici avec fine attention. Car, comment ferait-on autrement si l'on a en vue l'introduction, comme il se doit, des modules sur un anneau R à travers les représentations de R dans des groupes abéliens, et si l'on prétend par ailleurs avoir une réelle maîtrise de la théorie des extensions algébriques des corps, quand il s'agira en particulier de la correspondance de Galois ? Le public auquel s'adresse cet ouvrage dépasse, il va sans dire, celui des seuls étudiants de quatrième année des universités, et inclut les brillants élèves des classes préparatoires ainsi que leurs professeurs, mais également les agrégatifs et, au delà, tous les amoureux de l'algèbre en général. Gentiane Danila, Jean-Denis Eiden et Rached Mneimné réussissent avec brio et grand soin dans leur ambitieux projet, et nous offrent ainsi un texte original qui restera pour longtemps une référence de choix. Les lectrices et lecteurs qui viendront à ces mathématiques par l'attrait des fragrances promises moissonneront en travaillant ce livre des gerbes de blés dorés et de pépites mathématiques.

Algèbre éclectique - Un bouquet de thèmes et d'exercices pour le M1

Il était temps d'unir dans un même ouvrage une introduction raisonnée aux formes quadratiques et une présentation moderne de la géométrie classique, une présentation qui fonde solidement sur des bases algébriques claires et rigoureuses l'étude de la géométrie du triangle et celle des sections coniques. Les auteurs ont eu à coeur non seulement de répondre à cette attente, mais ont fait de leur mieux pour distinguer ce qui relève du cadre affine ou projectif et ce qui est spécifique au cadre euclidien. L'axiomatisation de la géométrie avec l'introduction des structures a rendu depuis bien longtemps cela possible. Il fallait cependant que quelqu'un s'attelât à produire un texte à la fois précis et beau sur le sujet. A. Debreil, J.-D. Eiden, R. Mneimné et T.-H. Nguyen ont accompli avec élégance et savoir-faire cette tâche, et le font ici dans un style sans faille et haut en couleurs. Cet ouvrage s'adresse au lecteur à mi-chemin entre celui qui est tout novice, qui n'en connaît presque rien, et celui qui a trop senti, et qui en sait déjà un peu trop. Il s'adresse aussi à ceux et celles qui aiment la géométrie pour elle-même, et qui s'émerveillent jeunes ou âgé(e)s devant une figure où s'entrelacent droites, triangles et coniques, et là où se décline sans mot dire quelque secret aux soubassements du monde.

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