Le constructivisme non standard

Jean-Michel Salanskis

Publié par PU du Septentrion, le 23 octobre 1999

349 pages

Résumé

L'analyse non standard est la doctrine moderne des quantités infiniment petites, la branche des mathématiques contemporaines qui, depuis les travaux d'Abraham Robinson aux alentours de 1960, restitue, réhabilite et réinvente dans le cadre des mathématiques formelles contemporaines l'usage des infinitésimales qui fut celui de Leibniz, Newton, et, à vrai dire, de la mathématique et de la physique dans leur ensemble pendant près de deux siècles. Le mot constructivisme désigne de son côté une famille de points de vue sur le fondement des mathématiques : ceux qui accordent un privilège dans la constitution du paysage mathématique aux objets construits, en un certain sens élémentaire et technique du verbe construire. Ce livre présente de façon synthétique des travaux menés en analyse non standard entre 1960 et 1992, en essayant de montrer que, contrairement aux apparences parfois, ils illustrent une conception constructiviste originale des mathématiques : une conception qui récupéré en quelque sorte le programme formaliste, se contentant de lui ajouter une sorte de recul critique ou intentionnel. Comme tel, il intéressera au premier chef les philosophes ou épistémologues concernés par la question des fondements des mathématiques, les historiens des sciences intéressés par le calcul infinitésimal, que la mathématique non standard offre, le moyen de regarder autrement, et les mathématiciens souhaitant s'informer sur l'analyse non standard à partir d'un ouvrage épistémologique. Mais il pourrait aussi intéresser des universitaires ou lettrés beaucoup plus divers, que la question de la formalisation attire et passionne, ou curieux de traverser les abîmes, d'éprouver les apories qui s'associent à la sémantique des mots petit, grand, fini et infini.